题目内容
4．
为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD=135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：$\sqrt{2}$．（1）求通道斜面AB的长为3$\sqrt{6}$米；
（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（结果保留根号）
分析 （1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，根据已知得出DM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=3$\sqrt{2}$，则AN=DM=3$\sqrt{2}$，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i=1：$\sqrt{2}$，得出BN=$\sqrt{2}$AN=6，然后根据勾股定理求出AB；
（2）先解Rt△MED，求出EM=$\sqrt{3}$DM=3$\sqrt{6}$，得出EC=EM-CM=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$，再根据BE=BC-EC即可求解．
解答 
解：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCM=45°．
∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，
∴DM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=3$\sqrt{2}$，
∴AN=DM=3$\sqrt{2}$，
∵通道斜面AB的坡度i=1：$\sqrt{2}$，
∴tan∠ABN=$\frac{AM}{BN}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BN=$\sqrt{2}$AN=6，
∴AB=$\sqrt{A{N}^{2}+B{N}^{2}}$=3$\sqrt{6}$．
即通道斜面AB的长约为3$\sqrt{6}$米；
故答案为：3$\sqrt{6}$；
（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3$\sqrt{2}$，
∴EM=$\sqrt{3}$DM=3$\sqrt{6}$，
∴EC=EM-CM=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$，
∴BE=BC-EC=8-（3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$）=8+3$\sqrt{2}$-3$\sqrt{6}$．
即此时BE的长约为（8+3$\sqrt{2}$-3$\sqrt{6}$）米．
点评 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ）| A． | 75° | B． | 90° | C． | 120° | D． | 105° |
如果点M、N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN=m-n（m＞n）或n-m（m＜n）或|m-n|．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．