题目内容
【题目】已知：正方形ABCD中，
，
绕点
顺时针旋转，它的两边分别交
（或它们的延长线）于点
．
（1）当绕点旋转到
时（如图1），求证：
；
（2）当绕点旋转到
时（如图2），则线段
和
之间数量关系是 ；
（3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段和之间又有怎样的的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．
【答案】（1）见解析；
（2）BM+DN=MN；
（3）DNBM=MN，理由见解析.
【解析】
（1）延长CB至E使得BE=DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出∠BAE=∠DAN，AE=AN，求出∠EAM=∠MAN，根据SAS证出△EAM≌△NAM，即可；
（2）证法与（1）类似，延长CB至E，使得BE=DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出∠BAE=∠DAN，AE=AN，求出∠EAM=∠MAN，根据SAS证出△EAM≌△NAM，即可；
（3）DC上截取DE=BM，连接AE，根据SAS证△ADE≌△ABM，推出∠DAE=∠BAM，AE=AM，求出∠EAN=∠MAN.根据SAS证出△MAN≌△EAN即可．
(1)证明：如图1，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,
在△ADN和△ABE中
∵
△ABE≌△ADN(SAS)，
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴
∵
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中
∴△EAM≌△NAM，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN；
(2)线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN=MN，理由如下：
延长CB至E，使得BE=DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,
在△ADN和△ABE中，
∵
△ABE≌△ADN(SAS)，
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴
∵
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中
∴△EAM≌△NAM，∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN，
故答案为BM+DN=MN；
(3)DNBM=MN，理由如下：
如图3，在DC上截取DE=BM，连接AE，
由(1)知△ADE≌△ABM(SAS)，
∴∠DAE=∠BAM，AE=AM，
∴
∵
∴∠EAN=∠MAN.
∵在△MAN和△EAN中，
∴△MAN≌△EAN(SAS)，
∴EN=MN，
即DNDE=MN，
∴DNBM=MN.
【题目】九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天） | 1≤x＜50 | 50≤x≤90 |
售价（元/件） | x＋40 | 90 |
每天销量（件） | 200－2x | |
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元[
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.
