Question

19．如图，点O是△ABC所在平面内一动点，将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接，如此构成四边形DEFG．
（1）当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当点O移动到△ABC外时，第（1）题中的结论是否成立？（画出图形，并说明理由；）
（3）若四边形DEFG是矩形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）（2）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定即可得出结论．
（3）由矩形的性质得出DG⊥DE，由三角形中位线定理得出DE∥OA，DG∥BC，即可得出结论．．

解答 （1）证明：∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G，
∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线，
∴DG∥BC  EF∥BC DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF且DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
（2）解：成立，如图1所示：
理由如下：
∵由（1）知，DG∥BC，EF∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF且DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（3）解：若四边形DEFG是矩形，则点O满足OA⊥BC．理由如下：
如图2所示：
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠EDG=90°，即DG⊥DE，
∵D、E分别是AB、OB的中点，
∴DE是△ABO的中位线，
∴DE∥OA，
由（2）得：DG∥BC，
∴OA⊥BC．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，由三角形中位线定理得出DG∥EF且DG=EF是解决问题的关键．