题目内容
（2013•荆门模拟）如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B（-3，0）及y轴上的C点．若抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，其对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先根据y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C求出C点的坐标，再用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据抛物线y=-x2+bx+c过点B，C，把B、C两点的坐标代入所设函数解析式即可求出此解析式；
（2）根据（1）中二次函数的解析式可求出A、D两点的坐标，判断出△OBC是等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义可求出∠OBC的度数，过点A作AE⊥BC于点E，利用勾股定理可求出BE、AE及CE的长，再根据相似三角形的判定定理可得出△AEC∽△AFP，根据相似三角形的对应边成比例可求出PF的长，再点P在抛物线的对称轴上即可求出点P的坐标；
（3）先根据梯形的面积公式求出四边形EFOC的面积，再假设直线过点F，求出△OCF的面积与四边形EFOC的面积的一半相比较可知，直线必过线段OF，再假设直线CM与线段OF相较于点G（x，0），再根据三角形的面积公式求出x的值，利用待定系数法求出直线CG的解析式，再求出此直线与抛物线的交点即可．
（2）根据（1）中二次函数的解析式可求出A、D两点的坐标，判断出△OBC是等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义可求出∠OBC的度数，过点A作AE⊥BC于点E，利用勾股定理可求出BE、AE及CE的长，再根据相似三角形的判定定理可得出△AEC∽△AFP，根据相似三角形的对应边成比例可求出PF的长，再点P在抛物线的对称轴上即可求出点P的坐标；
（3）先根据梯形的面积公式求出四边形EFOC的面积，再假设直线过点F，求出△OCF的面积与四边形EFOC的面积的一半相比较可知，直线必过线段OF，再假设直线CM与线段OF相较于点G（x，0），再根据三角形的面积公式求出x的值，利用待定系数法求出直线CG的解析式，再求出此直线与抛物线的交点即可．
解答：解：（1）∵y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴此时直线的解析式为y=kx-3，令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx-3．
∵B（-3，0）在直线BC上，
∴-3k-3=0解得k=-1．
∴直线BC的解析式为y=-x-3．
∵抛物线y=-x2+bx+c过点B，C，
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3；
（2）由y=-x2-4x-3．可得D（-2，1），A（-1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC=45°，CB=3
．
设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=
AB=1．
连接AE，
∵∠AEF=∠BEF=45°，
∴∠AEB=90°．
可得BE=AE=
，CE=2
，
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴
=
，
=
，解得，PF=2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（-2，-2），（-2，2）（不合题意舍去）．
（3）存在．
∵D（-2，1），C（0，-3），直线BC的解析式为y=-x-3，
∴F（-2，0），E（-2，-1），
∴S梯形EFOC=
（EF+OC）•OF=
×（1+3）×2=4，
∵当直线CM过点F时，S△OCF=
OC•OF=
×3×2=3＞
S梯形EFOC=2，
∴直线必过线段OF，设直线CM与线段OF相较于点G（x，0），则S△OCG=
OC•OG=
×3×
（-x）=2，解得x=-
，
∴G（-
，0），
设直线CM的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵C（0，-3），G（-
，0）在直线CM上，
∴
，解得
，
∴直线cm的解析式为y=-
x-3，
∴
，解得
或
．
∴直线CM的解析式为y=-
x-3．
∴此时直线的解析式为y=kx-3，令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx-3．
∵B（-3，0）在直线BC上，
∴-3k-3=0解得k=-1．
∴直线BC的解析式为y=-x-3．
∵抛物线y=-x2+bx+c过点B，C，
∴
|
解得
|
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3；
（2）由y=-x2-4x-3．可得D（-2，1），A（-1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC=45°，CB=3
| 2 |
设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=
| 1 |
| 2 |
连接AE，
∵∠AEF=∠BEF=45°，
∴∠AEB=90°．
可得BE=AE=
| 2 |
| 2 |
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴
| AE |
| AF |
| CE |
| PF |
| ||
| 1 |
2
| ||
| PF |
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（-2，-2），（-2，2）（不合题意舍去）．
（3）存在．
∵D（-2，1），C（0，-3），直线BC的解析式为y=-x-3，
∴F（-2，0），E（-2，-1），
∴S梯形EFOC=
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∵当直线CM过点F时，S△OCF=
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∴直线必过线段OF，设直线CM与线段OF相较于点G（x，0），则S△OCG=
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（-x）=2，解得x=-
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∴G（-
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设直线CM的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵C（0，-3），G（-
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∴
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|
∴直线cm的解析式为y=-
| 9 |
| 4 |
∴
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∴直线CM的解析式为y=-
| 9 |
| 4 |
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、梯形及三角形的面积等相关知识，难度较大．
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