Question

（2013•荆门模拟）如图，已知点A（8，0），sin∠ABO=

4

5

，抛物线经过点O、A，且顶点在△AOB的外接圆上，则此抛物线的解析式为（　　）

• A．y=-

  1

  2

  x2+4x
• B．y=-

  1

  8

  x2+x
• C．y=

  1

  2

  x2-4x或y=-

  1

  8

  x2+x
• D．y=-

  1

  2

  x2+4x或y=

  1

  8

  x2-x

Answer 1

分析：根据圆周角定理以及勾股定理和垂径定理得出E，F点着的坐标，进而利用顶点式求出抛物线解析式即可．

解答：解：如图所示：连接AC，过圆心O′作EF⊥OA，
∵∠AOC=90°，∠ABO=∠OCA，
∴

AO

AC

=

4

5

，
∵点A（8，0），
∴AC=10，
根据题意得出：AM=OM=4，AO′=5，
∴MO′=3，∴MF=2，
∴F点坐标为：（4，-2），
设过O，A，F的抛物线解析式为：y=a（x-4）²-2，
将A代入（8，0）得：
0=a（8-4）²-2，
解得：a=

1

8

，
∴此时抛物线解析式为：y=

1

8

（x-4）²-2=

1

8

x²-x，
根据题意得出：AM=OM=4，AO′=5，
∴MO′=3，∴ME=8，
∴E点坐标为：（4，8），
设过O，A，E的抛物线解析式为：y=a（x-4）²+8，
将A代入（8，0）得：
0=a（8-4）²+8，
解得：a=-

1

2

，
∴此时抛物线解析式为：y=-

1

2

（x-4）²+8=-

1

2

x²+x，
故选：D．

点评：此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用，根据已知得出E，F点坐标是解题关键．