Question

如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；
（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．

解答：解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠QPE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠QPE，
∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90°，
在△ADP和△QPE中，

∠A=∠Q ∠ADP=∠QPE PD=PE

，
∴△ADP≌△QPE（AAS），
∴PQ=AD=1；

（2）∵△PFD∽△BFP，
∴

PB

BF

=

PD

PF

，
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，
∴△DAP∽△PBF，
∴

PD

PF

=

AP

BF

，
∴

AP

BF

=

PB

BF

，
∴PA=PB，
∴PA=

1

2

AB=

1

2

∴当PA=

1

2

时，△PFD∽△BFP．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．