Question

9．（一）结论猜想
如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点F是AC边上一点（点F不与A、C重合），以CF为一边在△ABC左侧作正方形CFED，连接BF、AD，BF交AD于点O，直接写出BF与AD的数量关系及所在直线的位置关系：BF=AD，AD⊥BF．
（二）探究验证
如图2，将（一）中的正方形CFED绕点C逆时针旋转一定角度，BF与AD、AC交于点O、H，（一）中的结论是否改变？并写出理由；
（三）拓展延伸
如图3，将（二）中的等腰Rt△ABC改为Rt△ABC，∠ACB=90°，$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，正方形CFED改为矩形CFED，CF=$\frac{3}{2}$，CD=2，BF与AD、AC交于点O、H，判断BF与AD间的数量关系，并写出理由．

Answer 1

分析 （一）根据正方形的得到CD=CF，∠ACD=∠ACB=90°，
根据全等三角形的性质即可得到结论；
（二）由四边形CFED是正方形，得到CF=CD，∠DCF=90°，根据角的和差得到∠BCF=∠ACD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（三）根据正方形的性质得到∠DCF=90°根据已知条件得到$\frac{CD}{CF}$=$\frac{4}{3}$，推出$\frac{CD}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（一）∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠ACD=∠ACB=90°，
在△ACD与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF，
∴BF=AD，∠DAC=∠CBF，
∵∠CBF+∠CFB=∠DAC+∠AFO=90°，
∴AD⊥BF；
故答案为：BF=AD，AD⊥BF；

（二）结论不变，
理由：∵四边形CFED是正方形，
∴CF=CD，∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，∠ACB+∠ACF=∠DCF+∠FCA，
即∠BCF=∠ACD，
在△ACD与△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF，
∴BF=AD，∠DAC=∠FBC，
∵∠FBC+∠BHC=90°，∠BHC=∠AHO，
∴∠DAC+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD；

（三）AD=$\frac{4}{3}$BF，
理由：∵四边形CDEF是矩形，
∴∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
∵CF=$\frac{3}{2}$，CD=2，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴△ACD∽△BCF，
∴$\frac{AD}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．