Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)，经过点的直线与轴交于点与抛物线的另一个交点为，且．

（1）直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式(其中用含的式子表示)；

（2）点是直线上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求的值；

（3）设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），y=ax+a；（2）a=- ；（3）能，点P（1，-）或（1，-4）．

【解析】

（1）解方程即可得到结论，再根据直线l：y=kx+b过A（-1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；
（2）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2-2ax-3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．

（1）当y=0时，ax2-2ax-3a=0，

解得：x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），

∵直线l：y=kx+b过A（-1，0），
∴0=-k+b，
即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2-2ax-3a=kx+k，
即ax2-（2a+k）x-3a-k=0，
∵CD=4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴-3- =-1×4，
∴k=a，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a；

（2）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2-2ax-3a），
则F（x，ax+a），EF=ax2-2ax-3a-ax-a=ax2-3ax-4a，
∴S△ACE=S△AFE-S△CEF=（ax2-3ax-4a）（x+1）-（ax2-3ax-4a）x=（ax2-3ax-4a）=a（x-）2-a，
∴△ACE的面积的最大值=-a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴-a=，
解得a=- ；
（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，
解得：x1=-1，x2=4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一条边，
则Q（-4，21a），
m=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a-5a）2=22+（26a）2，
即a2= ，

∵a＜0，
∴a=- ，
∴P（1，-）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，
则Q（2，-3a），
m=5a-（-3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∴（-1-1）2+（8a）2+（1-4）2+（8a-5a）2=52+（5a）2，
即a2=，
∵a＜0，
∴a=-，
∴P（1，-4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，-）或（1，-4）．