Question

【题目】如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x；（2）见解析；（3）点P的坐标为（﹣，0）

【解析】试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式，（2）先求出直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．再求出直线BD的表达式为y=x﹣2．最后求出交点坐标C，D即可；

（3）先判断出C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．作辅助线判断出△C'PO∽△C'DQ即可．

试题解析：解：（1）∵抛物线顶点为A（，1），设抛物线解析式为y=a（x﹣）2+1，将原点坐标（0，0）在抛物线上，∴0=a（）2+1

∴a=﹣，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．

（2）令y=0，得 0=﹣x2+x，∴x=0（舍），或x=2

∴B点坐标为：（2，0），设直线OA的表达式为y=kx．∵A（，1）在直线OA上，∴k=1，∴k=，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．

∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y=x+b．∵B（2，0）在直线BD上，∴0=×2+b，∴b=﹣2，∴直线BD的表达式为y=x﹣2．

由

得交点D的坐标为（﹣，﹣3），令x=0得，y=﹣2，∴C点的坐标为（0，﹣2），由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2=OD．

在△OAB与△OCD中， ，∴△OAB≌△OCD．

（3）点C关于x轴的对称点C'的坐标为（0，2），∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．

过点D作DQ⊥y，垂足为Q，∴PO∥DQ，∴△C'PO∽△C'DQ，∴，∴，∴PO=，∴点P的坐标为（﹣，0）．