Question

【题目】“综合与实践”是以问题为中心，以活动为平台，以解决某一实际的数学问题为目标，综合应用知识和方法解决问题，它是对数学知识的延伸和发展，是对理解、运用数学基础知识和基本技能的升华过程．请同学们运用你所学的数学知识来研究和解决以下问题吧．

（1）探究：已知是平面上一个运动的点，若，，则当点位于 时，线段的长最小，最小值为 ；若，，则当点位于 时，线段的长最小，最小值为 ；

（2）应用：已知是一运动的点，，，如图①所示，分别以为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接和．

①在图中找出与相等的线段，并说明理由；

②何时线段可以取得最小值？请直接写出线段的最小值；

（3）拓展：如图②，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，为边上任意一点，连接并延长与边交于点，现将图中与分别沿与翻折，使点与点分别落在矩形内的点，处，连接，则的长有最小值吗？若有，请直接写出的长的最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）线段上，2；线段的延长线上，2；（2）①，理由见详解；②当点C在AB上时，AE的值最小，最小值为；（3）有最小值，最小值为．

【解析】

（1）由题意可知，当点位于线段上时有最小值，根据AB和PA的长确定点P是在线段上还是在的延长线上即可；

（2）①证明全等即可找出与AD相等的线段；

②由（1）的结论，举一反三，即可找出AE取最小值的情况，再计算即可；

（3）根据前两问的启发，找到取最小值的情况，再推理计算即可．

（1）由题意可得，当，时，当点位于线段上时，线段的长最小，最小值为2；

当，时，当点位于线段的延长线上时，线段的长最小，最小值为2；

（2）①

理由：和是等腰直角三角形，

，

；

②当点C在AB上时，AE的值最小，

此时C，D，E三点共线，CE⊥AB，

∴在Rt△ACE中，，

∵AB=3，AC=1，

∴BC=2，

∵，

∴CE=2，

∴，

∴最小值为；

（3）有最小值，

如图，要使最小，只有点，落在矩形对角线BD上，

矩形的对角线，

由对折可得=BA=4，

∴=BD-=-4，

∵四边形ABCD是矩形，且点，落在矩形对角线BD上，

∴根据翻折的性质和矩形的性质可得，=，∠=∠，∠EDB=∠FBD，

∴△≌△（AAS），

∴=，

∴=BD--=-2（-4）=，

∴长的最小值为．