Question

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．

Answer 1

       （1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，

∴∠AEO=∠CFO，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE=OF，

又∵OB=OD，

∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）解：设OM=x，

∵EF⊥AB，tan∠MBO=，

∴BM=2x，

又∵AC⊥BD，

∴△AOM∽△OBM，

∴=，

∴AM==x，

∵AD∥BC，

∴△AEM∽△BFM，

∴EM：MF=AM：BM=x：2x=1：4．