Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

       解：（1）∵抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x²﹣x+4；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，

∴P（m，﹣m²﹣m+4），G（m，4），

∴PG=﹣m²﹣m+4﹣4=﹣m²﹣m；

（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．

∵y=﹣x²﹣x+4，

∴当y=0时，﹣x²﹣x+4=0，

解得x=1或﹣3，

∴D（﹣3，0）．

当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．

设直线BD的解析式为y=kx+4，

将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，

解得k=，

∴直线BD的解析式为y=x+4，

∴H（m，m+4）．

分两种情况：

①如果△BGP∽△DEH，那么=，

即=，

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1；

②如果△PGB∽△DEH，那么=，

即=，

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣．

综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣．