Question

【题目】在中，，，点是上一点．

（1）如图，平分．求证：；

（2）如图，点在线段上，且，，求证：．

（3）如图，，过点作交的延长线于点，连接，过点作交于，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）延长AC至E，使CE=CD，利用AAS证出△BAD≌△EAD，从而得出AB=AE，即可证出结论；

（2）过点C作CF⊥EC交AD的延长线于点F，连接BF，先利用SAS证出△ACE≌△BCF，从而证出AE=BF，∠CEA=∠CFB，再证出∠EFB=90°，利用30°所对的直角边是斜边的一半即可证出结论；

（3）过点C作CE⊥AM于M，先利用AAS证出△CNA≌△CMB，即可证出CN=CM，根据等腰三角形的性质可得NE=EM，然后利用AAS证出△CED≌△BMD，从而得出ED=DM，然后根据线段的关系即可得出结论．

解：（1）延长AC至E，使CE=CD

∵，

∴∠ECD=180°－∠ACB=90°，∠B=∠CAB=（180°－∠ACB）=45°

∴△CDE为等腰三角形

∴∠E=45°

∴∠B=∠E

∵平分

∴∠BAD=∠EAD

在△BAD和△EAD中

∴△BAD≌△EAD

∴AB=AE

∵AE=AC＋CE=AC＋CD

∴AB= AC＋CD

（2）过点C作CF⊥EC交AD的延长线于点F，连接BF

∵∠CED=45°

∴△CEF为等腰直角三角形

∴CE=CF，∠CFE=∠CEF=45°

∵△ABC为等腰直角三角形

∴∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠ACE＋∠ECB=90°，∠BCF＋∠ECB=90°

∴∠ACE=∠BCF

在△ACE和△BCF中

∴△ACE≌△BCF

∴AE=BF，∠CEA=∠CFB

∵∠CEA=180°－∠CEF=135°

∴∠CFB=135°

∴∠EFB=∠CFB－∠CFE=90°

在Rt△EFB中，∠BEF=30°

∴BE=2BF

∴BE=2AE

（3）过点C作CE⊥AM于M，

∵△ABC为等腰直角三角形

∴∠ACB=90°，CA=CB

∵CN⊥CM，BM⊥AM

∴∠NCM=90°，∠BMA=90°

∴∠ACN+∠NCB=90°，∠BCM＋∠NCB=90°，

∴∠ACN=∠BCM

∴∠CNA=∠NCM＋∠CMN=90°＋∠CMN=∠CMB

在△CNA和△CMB中

∴△CNA≌△CMB

∴CN=CM

∴△CNM为等腰直角三角形

∴NE=EM

在△CED和△BMD中

∴△CED≌△BMD

∴ED=DM

∴EM=2DM

∴NE=2DM

∴DN=NE＋ED=3DM