Question

【题目】我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为

（1）在中，若，，求的值．

（2）如图2，在中，，，求，的值．

（3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长．

Answer 1

【答案】(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=2,AB=10.

【解析】

(1)在Rt中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;

(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=,再用新定义即可得出结论;

②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;

(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.

(1)已知如图:AO为BC上的中线,

在Rt中,

AO2-OC2=AC2

因为

所以AO2-OC2=81

所以AC2=81

所以AC=9.

(2)①如图2,取BC的中点D,连接AO,∵AB=AC,∴AO⊥BC,

在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,

在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°,∴AO=6,OB==,

∴ABAC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72,

②取AC的中点D,连接BD,∴AD=CD=AC=6,过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,∴∠ABE=30°,

∵AB=12,∴AE=6,BE=,

∴DE=AD+AE=12,

在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD=

∴BABC=BD2﹣CD2=216;

(3)作BD⊥CD,

因为,,

所以BD=2,

因为,是边上的中线,

所以AO2-OC2=-64,

所以OC2-AO2=64,

由因为AC2=82=64,

所以OC2-AO2= AC2

所以∠OAC=90°

所以OA=

所以OC=

所以BC=2OC=2,

在Rt△BCD中,

CD=

所以AD=CD-AC=16-8=8

所以AB=