题目内容
如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q点
从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
分析：（1）由三角形ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到AB=BC=9cm，由P的速度和时间t表示出P走过的路程CP的长，然后用边长BC减去CP即可表示出BP；由Q的速度及时间t，即可表示出Q走过的路程BQ；
（2）若△PBQ为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有PB=BQ，由（1）表示出的代数式代入即可列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；
（3）同时出发，要相遇其实是一个追及问题，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追及上P，题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程-P运动的路程=18列出关于t的方程，求出方程的解即可求出满足题意的t的值，然后由求出t的值计算出P运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置．
（2）若△PBQ为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有PB=BQ，由（1）表示出的代数式代入即可列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；
（3）同时出发，要相遇其实是一个追及问题，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追及上P，题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程-P运动的路程=18列出关于t的方程，求出方程的解即可求出满足题意的t的值，然后由求出t的值计算出P运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置．
解答：解：（1）∵等边△ABC，
∴BC=AB=9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，
∴CP=2t，
则PB=BC-CP=（9-2t）cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，
∴BQ=5t；
（2）若△PBQ为等边三角形，
则有BQ=BP，即9-2t=5t，
解得t=
，
所以当t=
s时，△PBQ为等边三角形；
（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得：5t-2t=18，
解得t=6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t=6s时，P走过得路程为2×6=12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
则两点在AB上第一次相遇．
∴BC=AB=9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，
∴CP=2t，
则PB=BC-CP=（9-2t）cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，
∴BQ=5t；
（2）若△PBQ为等边三角形，
则有BQ=BP，即9-2t=5t，
解得t=
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所以当t=
| 9 |
| 7 |
（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得：5t-2t=18，
解得t=6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t=6s时，P走过得路程为2×6=12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
则两点在AB上第一次相遇．
点评：此题考查了等边三角形的性质，是一道探究型动点题，解决此类型题先假设结论成立，看是否导致矛盾，还是达到与已知条件相符，从而确定探究的结论是否成立，对于动点问题，常常化动为静，寻找特殊位置，从而解决问题，例如此题的第三问，应理解为追及问题，找出等量关系Q运动的路程-P运动的路程=2倍的等边三角形边长是解题的关键．
练习册系列答案
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C、
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D、
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