Question

17．如图，已知抛物线的顶点为（1，-$\frac{27}{8}$），与y轴交点C（0，-3），与x轴的交点为A，D（A在D的右侧）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）求出A，D两点的坐标．
（3）若点M在抛物线上，且△MAD的面积等于△COD的面积的3倍，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-$\frac{27}{8}$，把（0，-3）的坐标代入，求出a即可．
（2）令y=0，得$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=0，解方程即可．
（3）设M（m，n），由题意$\frac{1}{2}$×6×|n|=3×$\frac{1}{2}$×2×3，解得n=±3，对于抛物线y=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$，当y=3时，$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=3，求出x的值．当y=-3时，$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=-3，求出x的值即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
把（0，-3）的坐标代入，得a=$\frac{3}{8}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$．

（2）令y=0，得$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=0，解得x=-2或4，
∴A（4，0），D（-2，0）．

（3）设M（m，n），
由题意$\frac{1}{2}$×6×|n|=3×$\frac{1}{2}$×2×3，
解得n=±3，
对于抛物线y=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
当y=3时，$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=3，解得x=1$±\sqrt{17}$，
∴M（1+$\sqrt{17}$，3）或（1-$\sqrt{17}$，3），
当y=-3时，$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=-3，解得x=2或0，
∴M（0，-3）或（2，-3），
综上所述，满足条件的点M的坐标为M（1+$\sqrt{17}$，3）或（1-$\sqrt{17}$，3）或（0，-3）或（2，-3）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是掌握二次函数的三种形式，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．