Question

9．如图，把一幅三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=4，CD=5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图2），此时AB与CD₁交于点O，则线段AD₁的长度为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 首先由旋转的角度为15°，可知∠ACD₁=45°．已知∠CAO=45°，即可得AO⊥CD₁，然后可在Rt△AOC和Rt△AOD₁中，通过解直角三角形求得AD₁的长．

解答 解：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AC=BC=2$\sqrt{2}$．
同理可得：AO=OC=2．
在Rt△AOD₁中，OA=2，OD₁=CD₁-OC=3，
由勾股定理得：AD₁=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形的综合应用，能够发现AO⊥OC是解决此题的关键．