Question

13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，与y轴交于D点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（-2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接AO、BO，求△ABO的面积．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△DOC中，利用∠DCO的正切计算出OD=4，则D（0，4），再把C点和D点坐标分别代入y=kx+b得关于k、b的方程组，解方程组求出k和b，于是得到一次函数解析式；然后利用一次函数图象上点的坐标特征确定A（1，6），再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值，从而得到反比例函数解析式；
（2）通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$得B（-3，-2），然后根据三角形面积公式，利用S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC进行计算即可．

解答 解：（1）在Rt△DOC中，∵tan∠DCO=$\frac{OD}{OC}$=2，
∴OD=2OC=4，则D（0，4），
把C（-2，0），D（0，4）分别代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=2x+4；
当y=6时，2x+4=6，解得x=1，则A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，则B（-3，-2），
∴S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×6+$\frac{1}{2}$×2×2=8．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了三角形面积公式．