Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P从点B出发，沿射线BA以每秒

3

个长度单位运动，联结MP，同时Q从点N出发，沿射线NC以一定的速度运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为x秒（x＞0）．

（1）求证：△BMP∽△NMQ；
（2）若∠B=60°，AB=4

3

，设△APQ的面积为y，求y与x的函数关系式．
（3）判断BP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：几何综合题

分析：（1）根据MQ⊥MP，MN⊥BC和直角三角形中的两个锐角互余以及等量代换，得出两个角对应相等，再根据AA，即可得出△BMP∽△NMQ；
（2）根据△PBM∽△QNM的对应边成比例可以求得NQ的长，求出点Q的速度，再分别用时间x表示出AP，AQ的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解析式，再分类讨论：当0＜x＜4时，AP=AB-BP=4

3

-

3

x，AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+x=4+x，然后由三角形的面积公式可以求得该函数关系式；当x≥4时，AP=

3

x-4

3

，AQ=4+x，然后由三角形的面积公式可以求得该函数关系式；
（3）先作辅助线延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD构建平行四边形BDCQ．根据平行四边形的对边平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，最后利用线段垂直平分线的性质得出BP、PQ、CQ之间的数量关系．

解答：解：（1）∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN．
∵∠PBM+∠C=90°，∠QNM+∠C=90°，
∴∠PBM=∠QNM，
∴△PBM∽△QNM；

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8

3

cm．
又∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4

3

cm．
∵∠C=30°，
∴MN=

3

3

CM=4cm；
设Q点的运动速度为vcm/s．
如图1，当0＜x＜4时，由（1）知△PBM∽△QNM．
∴

NQ

BP

=

MN

MB

，
∴

vx

3 x

=

4

4 3

，
∴v=1；
如图2，当x≥4时，同理可得v=1．
∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴如图1，当0＜x＜4时，AP=AB-BP=4

3

-

3

x，AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+x=4+x，
∴y=

1

2

AP•AQ=

1

2

（4

3

-

3

x）（4+x）=-

3

2

x²+8

3

；
如图2，当x≥4时，AP=

3

x-4

3

，AQ=4+x，
∴S=

1

2

AP•AQ=

1

2

（

3

x-4

3

）（4+x）=

3

2

x²-8

3

；
综上所述，y=

- 3 2 x2+8 3   (0＜x＜4) 3 2 x2-8 3   (x≥4)

；

（3）如图1，延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD，BQ，CD，
∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ²=BP²+CQ²．

点评：本题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、相似三角形与函数的综合应用、勾股定理等，根据题意画出图形，利用时间x正确表示出题目中线段的长度是解题的关键．