Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴于C（0，

3

），连结AC、BC．点P为抛物线上一点，且OP恰好将△ABC的面积二等分．直线OP交边BC于点E，过E点作EN∥AB，交AC于点N．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点F，使得以A，N，F为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）运用待定系数法求解即可．
（2）先求出△ABC的面积，可得出△OBE的面积，运用三角形面积公式求出EH，再运用三角函数求出OH，即可得出点P的坐标；
（3）以A，N，F为顶点的三角形与△ABC相似有三种情况，①若∠AFN=90°②若∠ANF=90°③若∠FAN=90°，针对这种情况进行分析求解得出点F的坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴于C（0，

3

），
∴

0=a-b+c 0=9a+3b+c 3 =c

，解得

a=- 3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
∴二次函数的解析式为：y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

．
（2）如图1，

∵OA=1，OB=3，OC=

3

，
∴AC=2，AB=4，BC=2

3

，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ABC=30°，
∴S_△ABC=

4× 3

2

=2

3

，
∴S_△OBE=

3

，
过E点作EH⊥AC，垂足为H，
∴EH=

2S△OBE

OB

=

2 3

3

，
∴BH=EH•tan60°=2，
∴OH=1，
∴E（1，

2 3

3

），
∴直线OE解析式为y=

2 3

3

x，
解

y=- 3 3 x2+ 2 3 3 x+ 3 y= 2 3 3

，得

x1= 3 y1=2

或

x2=- 3 y2=-2

，
∴点P的坐标为（

3

，2）或（-

3

，-2）．
（3）如图2，

由（1）（2）知二次函数y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

的对称轴为x=1，且∠ACB=90°．
∵EH=

2 3

3

，OC=

3

，AC=2，且EN∥AB，
∴

AC

AN

=

CO

EH

即

2

AN

=

3

2 3 3

∴AN=

4

3

，
①若∠AFN=90°，
∵AN的中点到对称轴的距离大于1，而

1

2

AN=

2

3

＜1，
∴以AN为直径的圆不与对称轴相交，
∴∠AFN≠90°，即此时不存在符合条件的F点．
②若∠ANF=90°，当∠NAF=60°，则F，H重合，此时∠ANF≠90°，
当∠NAF=30°，则F，E重合，
此时∠ANF≠90°，即此时不存在符合条件的F点，
③若∠FAN=90°，作AF⊥AN交对称轴于点F，此时，∠HAF=30°，AH=2，HF=

2 3

3

，
AF=

4 3

3

，而AN=

4

3

，
∴∠AFN=30°，
∴△ANF∽△ABC，
∴F（1，-

2 3

3

）．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是善于将函数问题利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解，特别第3小题必须分三种情况讨论．