Question

【题目】如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝ (x＞0)相交于点P(2，4)．已知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′.过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C，连接CP.

(1)求k1与k2的值；

(2)求直线PC的解析式；

(3)直接写出线段AB扫过的面积．

Answer 1

【答案】（1）k1＝2，k2＝8；（2）；（3）22

【解析】试题分析：（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k1与k2的值；

（2）根据平移的性质，求得C（6，），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式；

（3）延长A'C交x轴于D，过B'作B'E⊥y轴于E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积，据此可得线段AB扫过的面积．

试题解析：（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，可得4=2k1，

∴k1=2，

把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k2=2×4=8；

（2）∵A（4，0），B（0，3），

∴AO=4，BO=3，

如图，延长A'C交x轴于D，

由平移可得，A'P=AO=4，

又∵A'C∥y轴，P（2，4），

∴点C的横坐标为2+4=6，

当x=6时，y==，即C（6，），

设直线PC的解析式为y=kx+b，

把P（2，4），C（6，）代入可得

，解得，

∴直线PC的表达式为y=﹣x+；

（3）如图，延长A'C交x轴于D，

由平移可得，A'P∥AO，

又∵A'C∥y轴，P（2，4），

∴点A'的纵坐标为4，即A'D=4，

如图，过B'作B'E⊥y轴于E，

∵PB'∥y轴，P（2，4），

∴点B'的横坐标为2，即B'E=2，

又∵△AOB≌△A'PB'，

∴线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．