Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若OA＝5，OP＝3，求CB的长；

（3）设△AOP的面积是S1，△BCP的面积是S2，且．若⊙O的半径为4，BP＝，求tan∠CBP．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）连接OB，由OP⊥OA，得∠A+∠APO＝90°；由CP＝CB，得∠CBP＝∠CPB；再由OA＝OB，得∠A＝∠OBA，而∠CPB＝∠APO，整理变形可得∠OBC＝90°，即BC是⊙O的切线；

（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，由勾股定理可得关于x的方程

52+x2＝（x+3）2，解方程即可求出CB的长；

（3）作CD⊥BP于D，由PC＝PB，得PD＝BD＝PB＝，易证△AOP∽△PCD，则由，可得，即，由此可求CD的长，再在Rt△BCD中，按照正切定义求出tan∠CBP即可.

（1）证明：连接OB，如图，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP＝90°，

∴∠A+∠APO＝90°，

∵CP＝CB，

∴∠CBP＝∠CPB，

而∠CPB＝∠APO，

∴∠APO＝∠CBP，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：设BC＝x，则PC＝x，

在Rt△OBC中，OB＝OA＝5，OC＝CP+OP＝x+3，

∵OB2+BC2＝OC2，

∴52+x2＝（x+3）2，

解得x＝，

即BC的长为；

（3）解：如图，作CD⊥BP于D，

∵PC＝PB，

∴PD＝BD＝PB＝，

∵∠PDC＝∠AOP＝90°，∠APO＝∠CPD，

∴△AOP∽△PCD，

∵，

∴，

∴，

∵OA＝4，

∴CD＝，

∴tan∠CBP＝＝2．