Question

11．已知Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，过点B的直线BE交直线AC于D，CE⊥BE于E，当BE平分∠ABC，求证：①BD=2CE；②AB+AD=BC．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长CE，BA交于F，根据已知条件得到∠BEF=∠BEC=90°，∠CBE=∠FBE，推出△CBE≌△FBE，由全等三角形的性质得到CE=EF，证得CF=2CE，通过△ABD≌△ACF，得到BD=CF，等量代换得到结论；
（2）如图2，过D作DH⊥BC于H，根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=45°，求得∠HDC=45°=∠ACB，根据等腰三角形的性质得到DH=CH，根据角平分线的性质得到AD=DH，证得Rt△ABD≌Rt△BDH，于是得到AB=BH，即可得到结论．

解答 证明：（1）如图1，延长CE，BA交于F，
∵CE⊥BE于E，当BE平分∠ABC，
∴∠BEF=∠BEC=90°，∠CBE=∠FBE，
在△CBE与△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△FBE，
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BD=2CE；

（2）如图2，过D作DH⊥BC于H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∴∠HDC=45°=∠ACB，
∴DH=CH，
∵BE平分∠ABC，
∴AD=DH，
∴AD=CH，
在Rt△ABD与Rt△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DH}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△BDH，
∴AB=BH，
∴BC=BH+CH=AB+AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．