Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，交CD于点F，连接DE．

（1）证明：DE平分∠ADC；

（2）已知AD＝4，设CD的长为x（2＜x＜4）．

①当x＝2.5时，求弦DE的长度；

②当x为何值时，DFFC的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②x＝3时，DFCF的值最大，最大值为2

【解析】

（1）连接OE，根据已知可推出AB∥OE∥CD，可得∠OED＝∠CDE，再根据OD＝OE，可得∠OED＝∠ODE，即可证明；

（2）①连接AF交OE于H，由现有条件可推出AB＝1.5，然后可证四边形ABCF是矩形，可得AH＝FH，AB＝CF＝HE＝1.5，OH＝OE﹣EH＝0.5，可得AH＝==，根据勾股定理即可得出答案；

②设AB＝CF＝m，根据OE＝（AB+CD），可得x+m＝4，即可得DFCF的函数表达式，根据函数的性质即可得出答案．

（1）证明：如图，连接OE，

∵BC是⊙O的切线，

∴OE⊥BC，

∵AB∥CD，∠C＝90°，

∴∠B＝90°，

∴AB⊥BC，CD⊥BC，

∴AB∥OE∥CD，

∴∠OED＝∠CDE，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE，

∴∠ODE＝∠CDE，

∴ED平分∠ADC；

（2）①连接AF交OE于H，

∵AB∥OE∥CD，AO＝OD，

∴BE＝EC，

∴OE＝（AB+CD），

∵OE＝2，CD＝2.5，

∴AB＝1.5，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AFD＝90°，

∵∠B＝∠C＝9°，

∴四边形ABCF是矩形，

∴AF∥BC，

∵OE⊥BC，

∴OE⊥AF，

∴AH＝FH，AB＝CF＝HE＝1.5，

∴OH＝OE﹣EH＝0.5，

∴AH＝==，

∴AH＝FH＝CE＝，

∴DE＝＝＝；

②设AB＝CF＝m，

∵OE＝（AB+CD），

∴x+m＝4，

∴m＝4﹣x，

∴DFCF＝（（4﹣x）（2x﹣4）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，

∵﹣2＜0，

∴x＝3时，DFCF的值最大，最大值为2．