Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=4，⊙O的直径为10，求BD的长度．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF²+OF²=OA²，从而求得AF的值，进而就可求得BD的长．

解答：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD=5，OF=CD=4．
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF²+OF²=OA²．
∴AF=

OA2-OF2

=

52-42

=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴FB=AF=3．
∴BD=DF+BF=5+3=8．

点评：本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．