Question

18．如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交BD、CD于点P、M，CD交BE于点Q，连接PQ．
求证：（1）∠DMA=60°；
（2）△BPQ为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质，可证明△ABE≌△DBC，可求得∠BAE=∠BDC，则可证得∠ABD=∠DMA=60°；
（2）由等边三角形的性质，结合（1）中的结论可证明△ABP≌△DBQ，可得BP=BQ，则可证得结论．

解答 证明：
（1）∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴AB=DB，EB=CB，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，
即∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠BAE=∠BDC}\\{EB=CB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DBC （SAS），
∴∠BAE=∠BDC，
在△ABP和△DMP中，
∠BAE=∠BDC，∠APB=∠DPM，
∴∠DMA=∠ABD=60°；
（2）∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠EBC=60°，
∵点A、B、C在一条直线上，
∴∠DBE=60°，
即∠ABD=∠DBE，
由（1）得∠BAE=∠BDC，
在△ABP和△DBQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠EBC}\\{AB=DB}\\{∠BAE=∠BDC}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．