Question

6．将一条长度为40cm的绳子剪成两段，并以每一段绳子的长度为周长围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm²，那么这段绳子剪成两段后的长度分别是多少？
（2）求两个正方形的面积之和的最小值，此时两个正方形的边长分别是多少？

Answer 1

分析 （1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（10-x）cm，依题意列方程即可得到结论；
（2）设两个正方形的面积和为y，于是得到y=x²+（10-x）²=2（x-5）²+50，于是得到结论．

解答 解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（10-x）cm，
依题意列方程得x²+（10-x）²=58，
整理得：x²-10x+21=0，
解方程得x₁=3，x₂=7，
3×4=12cm，40-12=28cm，或4×7=28cm，40-28=12cm．
因此这段绳子剪成两段后的长度分别是12cm、28cm；
（2）设两个正方形的面积和为y，则y=x²+（10-x）²=2（x-5）²+50，
∴当x=5时，y_最小值=50，此时，10-5=5cm，
即两个正方形的面积之和的最小值是50cm²，此时两个正方形的边长都是5cm．

点评 本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，正方形的性质，一元二次方程的应用，列出关系式并整理成顶点式形式是解题的关键．