Question

14．如图，在⊙O中，两弦AB与CD的中点分别是P，Q，且$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，连接PQ．求证：∠APQ=∠CQP．

Answer 1

分析 连接OP，OQ，根据圆心角，弧，弦的关系得到AB=CD，根据垂径定理得到OP⊥AB，OQ⊥CD，于是得到OP=OQ，∠APO=∠CQO=90°，由等腰三角形的性质得到∠OPQ=∠OQP，即可得到结论．

解答 解：连接OP，OQ，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD，
∵两弦AB与CD的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AB，OQ⊥CD，
∴OP=OQ，∠APO=∠CQO=90°，
∴∠OPQ=∠OQP，
∴∠APQ=∠CQP．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．