题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）。
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围。
解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12），
∴由
解得
∴此二次函数的表达式为；
（2）假设存在直线l：与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以为顶点的三角形与相似，
在中，令y=0，则由，解得，

令x=0，得y=3，

设过点O的直线l交BC于点D，过点D作轴于点E，
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0），


要使或，
已有，则只需，① 或② 成立，
若是①，则有，
而，
在中，由勾股定理，得，
解得（负值舍去），

∴点D的坐标为，
将点D的坐标代入中，求得k=3，
∴满足条件的直线的函数表达式为y=3x，
［或求出直线AC的函数表达式为，则与直线AC平行的直线的函数表达式为y=3x，此时易知，再求出直线BC的函数表达式为，联立，求得点D的坐标为］
若是②，则有，
而，
∴在中，由勾股定理，得，
解得（负值舍去）

∴点D的坐标为（1，2），
将点D的坐标代入中，求得k=2，
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x，
∴存在直线l：y=3x或y=2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点D的坐标分别为或（1，2）；
（3）设过点C（0，3），E（1，0）的直线与该二次函数的图象交于点P，
将点E（1，0）的坐标代入中，求得k=-3，
∴此直线的函数表达式为，
设点P的坐标为，并代入，得，
解得（不合题意，舍去）

∴点P的坐标为（5，-12），此时，锐角，
又∵二次函数的对称轴为x=1，
∴点C关于对称轴对称的点C′的坐标为（2，3），
∴当时，锐角；
当时，锐角；
当时，锐角。
练习册系列答案
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4
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（1，-1），（5，3）或（5，-1）
（1，-1），（5，3）或（5，-1）
．

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