Question

【题目】在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．

求证：（1）△ABF≌△DAE；

（2）DE＝BF+EF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）根据菱形的性质得到AB=AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BPA=∠DAE，等量代换得到∠BAF=∠ADE，求得∠ABF=∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到AE=BF，DE=AF，根据线段的和差即可得到结论

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，AD∥BC，

∴∠BPA＝∠DAE，

∵∠ABC＝∠AED，

∴∠BAF＝∠ADE，

∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，

∴∠ABF＝∠DAE，

∵AB＝DA，

∴△ABF≌△DAE（ASA）；

（2）∵△ABF≌△DAE，

∴AE＝BF，DE＝AF，

∵AF＝AE+EF＝BF+EF，

∴DE＝BF+EF．