题目内容

函数y=- $数学公式$ x²+3的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交直线y=kx于点M、N．
（1）用k表示S_△OBN：S_△MAO的值．
（2）当S_△OBN= $数学公式$ S_△MAO时，求图象过点M、N、B的二次函数的解析式．

解：（1）由y=- $\text{[math]}$ x²+3知：点A（4，0）、B（0，3）；
当x=4时，y=kx=4k，即：M（4，4k）；
当y=3时，kx=3，x= $\text{[math]}$ ，即：N（ $\text{[math]}$ ，3）；
∴AM=4|k|、BN= $\text{[math]}$ ；
∴S_△OBN= $\text{[math]}$ OB•BN= $\text{[math]}$ •3• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，S_△MAO= $\text{[math]}$ •OA•AM= $\text{[math]}$ •4•4|k|=8|k|；
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（2）由S_△OBN= $\text{[math]}$ S_△MAO，得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得：k=± $\text{[math]}$ ；
当k= $\text{[math]}$ 时，M（4，6）、N（2，3）；
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，有：
$\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$
∴抛物线的解析式：y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+3；
当k=- $\text{[math]}$ 时，M（4，-6）、N（-2，3），同理可求得抛物线的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+3；
综上，过点M、N、B的二次函数的解析式为：y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+3或y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+3．
分析：（1）首先由抛物线的解析式求出点A、B的坐标，进而能得到M、N的坐标，以及AM、BN的长，OA、OB长易知，即可得到△OBN、△OMA的面积表达式，由此得解．
（2）将△OBN、△MAO的面积表达式代入S_△OBN= $\text{[math]}$ S_△MAO中，求出k值后即可确定点M、N的坐标，再由待定系数法确定二次函数的解析式．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定、函数图象交点坐标的解法以及图形面积的求法等知识；本题中，k的符号并不明确，因此要防止漏解的情况发生．