题目内容
（2013•奉贤区二模）如图，已知二次函数y=-x2+2mx的图象经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线BM上有点P（1，
| 3 | 2 |
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）将点B（1，2），代入二次函数y=-x2+2mx，得到关于m的方程，求得m的值，从而得到二次函数的解析式；
（2）根据题意可知点A（3，0），C（2，2），P（1，
），根据两点间的距离公式可得PA，PC，AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断直线CP与直线CA的位置关系；
（3）分①当点E在x轴上，PE∥CA，②当点E在y轴上，PC∥AE，两种情况讨论即可得到使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形的点E的坐标．
（2）根据题意可知点A（3，0），C（2，2），P（1，
| 3 |
| 2 |
（3）分①当点E在x轴上，PE∥CA，②当点E在y轴上，PC∥AE，两种情况讨论即可得到使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形的点E的坐标．
解答：解：（1）∵点B（1，2）在二次函数y=-x2+2mx的图象上，
∴-12+2m=2
解得m=
．
故二次函数的解析式为y=-x2+3x；
（2）直线CP与直线CA的位置关系是垂直．
∵二次函数的解析式为y=-x2+3x，
∴点A（3，0），C（2，2），
∵P（1，
），
∴PA2=
，PC2=
，AC2=5，
∴PA2=PC2+AC2，
∴∠PCA=90°，即CP⊥CA；
（3）假设在坐标轴上存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，
∵∠PCA=90°，
则①当点E在x轴上，PE∥CA，
∴△CBP∽△PME，
∴
=
，
∴ME=
，
∴E1（
，0）；
②当点E在y轴上，PC∥AE，
∴△CBP∽△AOE，
∴
=
，
∴OE=
，
∴E2（0，-
）．
即点Q的坐标E1（
，0）、E2（0，-
）时，以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形．
∴-12+2m=2
解得m=
| 3 |
| 2 |
故二次函数的解析式为y=-x2+3x；
（2）直线CP与直线CA的位置关系是垂直．
∵二次函数的解析式为y=-x2+3x，
∴点A（3，0），C（2，2），
∵P（1，
| 3 |
| 2 |
∴PA2=
| 25 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
∴PA2=PC2+AC2，
∴∠PCA=90°，即CP⊥CA；
（3）假设在坐标轴上存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，
∵∠PCA=90°，
则①当点E在x轴上，PE∥CA，
∴△CBP∽△PME，
∴
| CB |
| PM |
| BP |
| ME |
∴ME=
| 3 |
| 4 |
∴E1（
| 7 |
| 4 |
②当点E在y轴上，PC∥AE，
∴△CBP∽△AOE，
∴
| CB |
| AO |
| BP |
| OE |
∴OE=
| 3 |
| 2 |
∴E2（0，-
| 3 |
| 2 |
即点Q的坐标E1（
| 7 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
点评：考查了二次函数综合题，涉及到：直角梯形的性质、二次函数解析式的确定、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质等重要知识点．（3）题中，注意要分类讨论，以免漏解．
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