Question

如图，在△ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F．
（1）求证：DF=AC； 
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：等腰梯形的判定,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）先证△AEF≌△DEC；再证四边形ACDF是平行四边形．
（2）当AD∥BF时，四边形AFBD是矩形；当AD不平行BF时，四边形AFBD是等腰梯形．

解答：证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDC，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△EAF和△EDC中

∠EAF=∠EDC AE=DE ∠AEF=∠DEC

∴△EAF≌△EDC（ASA），
∴DC=AF，
又∵AF∥BC，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴DF=AC，
（2）四边形AFBD是矩形．
证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形．

点评：本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．