Question

如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于D、E两点（点D在点E的右方），求点E、D的坐标．

Answer 1

考点：直角梯形,坐标与图形性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：根据圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠2=∠3，证出△ODC∽△ABD，得出比例式，求出OD•AD=3，根据OD+AD=4，组成方程组，求出即可．

解答：解：连接CE、BE，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△ODC和△ABD中，
∠COD=∠DAB=90°，
∠2=∠3，
∴△ODC∽△ABD，
∴

OD

AB

=

OC

AD

，
又∵AB=1，OC=3，
∴OD•AD=3，
又∵OD+AD=4，
∴AD=4-OD，
设OD=x则x（4-x）=3，
解得x₁=1，x₂=3，
即以BC为直径的圆与x轴有两个交点，它们在原点的右侧，与原点的距离分别为1和3，由于点D在点E的右侧，
∴OE=1，OD=3，
∴点D、E的坐标分别为D（3，0），E（1，0）．

点评：本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质和判定，坐标与图形性质，圆周角定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．