Question

【题目】在平面直角坐标中，四边形OCNM为矩形，如图1，M点坐标为（m，0），C点坐标为（0，n），已知m，n满足．

（1）求m，n的值；

（2）①如图1，P，Q分别为OM，MN上一点，若∠PCQ＝45°，求证：PQ＝OP+NQ；

②如图2，S，G，R，H分别为OC，OM，MN，NC上一点，SR，HG交于点D．若∠SDG＝135°，，则RS＝______；

（3）如图3，在矩形OABC中，OA＝5，OC＝3，点F在边BC上且OF＝OA，连接AF，动点P在线段OF是（动点P与O，F不重合），动点Q在线段OA的延长线上，且AQ＝FP，连接PQ交AF于点N，作PM⊥AF于M．试问：当P，Q在移动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若不变求出线段MN的长度；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝5，n=5；（2）①证明见解析；②；（3）MN的长度不会发生变化，它的长度为．

【解析】

（1）利用非负数的性质即可解决问题．

（2）①作辅助线，构建两个三角形全等，证明△COE≌△CNQ和△ECP≌△QCP，由PE＝PQ＝OE+OP，得出结论；

②作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，可得CSRE和CFGH，则CE＝SR，CF＝GH，证明△CEN≌△CE′O和△E′CF≌△ECF，得EF＝E′F，设EN＝x，在Rt△MEF中，根据勾股定理列方程求出EN的长，再利用勾股定理求CE，则SR与CE相等，所以SR＝ ；

（3）在（1）的条件下，当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化，求出MN的长即可；如图4，过P作PD∥OQ，证明△PDF是等腰三角形，由三线合一得：DM＝FD，证明△PND≌△QNA，得DN＝AD，则MN＝AF，求出AF的长即可解决问题．

解：（1）∵ ，

又∵≥0，|5﹣m|≥0，

∴n﹣5＝0，5﹣m＝0，

∴m＝5，n=5．

（2）①如图1中，在PO的延长线上取一点E，使NQ＝OE，

∵CN＝OM＝OC＝MN，∠COM＝90°，

∴四边形OMNC是正方形，

∴CO＝CN，

∵∠EOC＝∠N＝90°，

∴△COE≌△CNQ（SAS），

∴CQ＝CE，∠ECO＝∠QCN，

∵∠PCQ＝45°，

∴∠QCN+∠OCP＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ECP＝∠ECO+∠OCP＝45°，

∴∠ECP＝∠PCQ，

∵CP＝CP，

∴△ECP≌△QCP（SAS），

∴EP＝PQ，

∵EP＝EO+OP＝NQ+OP，

∴PQ＝OP+NQ．

②如图2中，过C作CE∥SR，在x轴负半轴上取一点E′，使OE′＝EN，得CSRE，且△CEN≌△CE′O，则CE＝SR，

过C作CF∥GH交OM于F，连接FE，得CFGH，则CF＝GH＝，

∵∠SDG＝135°，

∴∠SDH＝180°﹣135°＝45°，

∴∠FCE＝∠SDH＝45°，

∴∠NCE+∠OCF＝45°，

∵△CEN≌△CE′O，

∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′，

∴∠E′CF＝∠E′CO+∠OCF＝45°，

∴∠E′CF＝∠FCE，

∵CF＝CF，

∴△E′CF≌△ECF（SAS），

∴E′F＝EF

在Rt△COF中，OC＝5，FC＝，

由勾股定理得：OF＝ ＝，

∴FM＝5﹣＝，

设EN＝x，则EM＝5﹣x，FE＝E′F＝x+，

则（x+）2＝（）2+（5﹣x）2，

解得：x＝，

∴EN＝，

由勾股定理得：CE＝ ＝，

∴SR＝CE＝．

故答案为．

（3）当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化．

理由：如图3中，过P作PD∥OQ，交AF于D．

∵OF＝OA，

∴∠OFA＝∠OAF＝∠PDF，

∴PF＝PD，

∵PF＝AQ，

∴PD＝AQ，

∵PM⊥AF，

∴DM＝FD，

∵PD∥OQ，

∴∠DPN＝∠PQA，

∵∠PND＝∠QNA，

∴△PND≌△QNA（AAS），

∴DN＝AN，

∴DN＝AD，

∴MN＝DM+DN＝DF+AD＝AF，

∵OF＝OA＝5，OC＝3，

∴CF＝，

∴BF＝BC﹣CF＝5﹣4＝1，

∴AF＝，

∴MN＝AF＝，

∴当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化，它的长度为．