Question

【题目】如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；

（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在矩形，

【解析】

（1）直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，-3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y=x2-x-3…①；
（2）当∠MBE=75°时，如下图所示，分M在x轴上和x轴下分别求解即可；
（3）存在①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n=-m2-m-3…③，
P′C所在直线的k1=，P′B所在的直线k2=，则：k1k2=-1即可求解，②当BC为矩形一边时，矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y=-x-3，则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，
联立①⑤解得点P（-4，5），则Q（2，8），即可求解．

：（1）直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，
则A（3，0）B（0，-3），
把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：
抛物线的解析式y=x2-x-3…①，
则：C（6，0）；
（2）符合条件的有M和M′，如下图所示，

当∠MBE=75°时，
∵OA=OB，∴∠MBO=30°，
此时符合条件的M只有如图所示的一个点，
MB直线的k为-，所在的直线方程为：y=-x-3…②，
联立方程①、②可求得：x=4-4，
即：点M的横坐标4-4；
当∠M′BE=75°时，∠OBM′=120°，
直线MB的k值为-，其方程为y=-x-3，
将MB所在的方程与抛物线表达式联立，
解得：x=，
故：即：点M的横坐标4-4或．
（3）存在．

①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，
设：P′（m，n），
n=-m2-m-3…③，
P′C所在直线的k1=，
P′B所在的直线k2=，则：k1k2=-1…④，
③、④联立解得：m=2，则P′（2，3-2），
则Q′（6-2，2-3）；
②当BC为矩形一边时，
情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，
直线BC所在的方程为：y=x-3，
则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，
联立①⑤解得点P（-4，5），
则Q（2，8），
情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，
此时，P″在抛物线上，其指标为：（-10，32）．．
故：存在矩形，点Q的坐标为：（6-2，2-3）或（2，8）或（-10，32）．