题目内容
如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=0.8，求线段AD与BF的长．
考点：圆周角定理,解直角三角形
专题：
分析：（1）由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可证得CD∥BF；
（2）由圆周角定理可证得∠BAD=∠BCD，然后利用三角函数的性质求得答案．
（2）由圆周角定理可证得∠BAD=∠BCD，然后利用三角函数的性质求得答案．
解答：（1）证明：∵BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴BF⊥AB．
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF；
（2）解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴cos∠BAD=cos∠BCD=0.8，
在Rt△ABD中，AB=10，cos∠BAD=
，
∴AD=AB•cos∠BAD=10×0.8=8，
在Rt△ABF中，AB=10，cos∠BAF=
，
∴AF=
=
=12.5，
FB=
=
=7.5．
∴BF⊥AB．
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF；
（2）解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴cos∠BAD=cos∠BCD=0.8，
在Rt△ABD中，AB=10，cos∠BAD=
| AD |
| AB |
∴AD=AB•cos∠BAD=10×0.8=8，
在Rt△ABF中，AB=10，cos∠BAF=
| AB |
| AF |
∴AF=
| AB |
| cos∠BAF |
| 10 |
| 0.8 |
FB=
| AF2-AB2 |
| 12.52-102 |
点评：此题考查了圆周角定理、切线的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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