Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为BD上的一点，连接EA，将EA绕点E逆时针旋转90°得线段EF，连接FB．

（1）如图a，点E在OB上，

①求∠FEB+∠BAE的度数；

②求证：ED﹣EB=BF；

（2）如图b，当E在OD上时，按已知条件补全图形，直接写出ED、EB、BF三条线段的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①45°；②见解析；（2）EB﹣ED=BF．

【解析】

试题分析：（1）①根据已知条件易证得∠BAE=∠F，根据三角形外角的性质得出∠F+∠FEB=∠OBC=45°，即可求得∠FEB+∠BAE=45°；②在OA上截取OH=OE，连接EH，四边形ABCD是正方形，求得∠OHE=∠OEH=45°，由∠AEF=90°，得出∠FEB+∠AEH=45°，即可求得AEH=∠F，根据∠FEB+∠AEO=90°，∠AEO+∠EAH=90°得到∠FEB=∠EAH，然后根据ASA证得△FEB≌△EAH，得出BF=EH，根据等腰直角三角形的性质求得=得出OE=BF，因为ED﹣EB=OD+OE﹣（OB﹣OE）=2OE，即可证得ED﹣EB=BF；

（2）在OC上截取OH=OE，连接EH，得出AH=BE，根据AC⊥BD，∠AEF=90°，得出∠EAH=∠FEB，根据SAS证得△FEB≌△EAH，得出BF=EH，根据等腰直角三角形的性质求得=得出OE=BF，因为EB﹣ED=2OE，即可证得EB﹣ED=BF．

解：（1）①如图a，∵∠AEF=90°，∠ABF=90°，∠1=∠2，

∴∠BAE=∠F，

∵∠F+∠FEB=∠OBC=45°

∴∠FEB+∠BAE=45°；

②在OA上截取OH=OE，连接EH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOB=90°，

∴∠OHE=∠OEH=45°，

∵∠AEF=90°，

∴∠FEB+∠AEH=45°，

∴∠AEH=∠F，

∵∠AEF=90°，

∴∠FEB+∠AEO=90°，

∵∠AEO+∠EAH=90°，

∴∠FEB=∠EAH，

在△FEB和△EAH中，

，

∴△FEB≌△EAH（ASA），

∴BF=EH，

在等腰直角三角形EOH中，=

∴OE=BF，

∵ED﹣EB=OD+OE﹣（OB﹣OE）=2OE，

∴ED﹣EB=BF；

（2）ED、EB、BF三条线段的数量关系为：EB﹣ED=BF，

在OC上截取OH=OE，连接EH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB，

∴OA+OH=OB+OE，即AH=BE，

∵AC⊥BD，∠AEF=90°，

∴∠EAH=∠FEB，

在△FEB和△EAH中，

，

∴△FEB≌△EAH（SAS），

∴BF=EH，

在等腰直角三角形EOH中，=

∴OE=BF，

∵BE﹣DE=2OE，

∴EB﹣ED=BF．