Question

如图，已知CE是△ABC的中线，DE⊥AB交外角∠BCF的平分线于D，∠ACB=60°，证明：BC=AC+CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题,转化思想

分析：过D作DM垂直于AF，DN垂直于CB，连接AD，BD，由CD为角平分线，利用角平分线性质得出DM=DN，证得Rt△CDM≌Rt△CDN，可得出CM=CN，由E为AB的中点，DE垂直于AB，得到DE为AB的垂直平分线，得到AD=BD，由DM=DN，AD=BD，证得Rt△AMD≌Rt△BND，得到AM=BN，由∠ACB为60°，得到∠DCN=∠DCM=60°，在直角三角形CND中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出CD=2CN，同理CD=2CM，由BC=BN+CN，等量代换可得证．

解答：证明：如图过D作DM⊥AF于点M，DN⊥CB于点N，连接AD，BD，

∵CD为∠FCB的平分线，DM⊥AF，DN⊥CB，
∴DM=DN，又CD=CD，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CM=CN，
又∵E为AB中点，DE⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AMD和Rt△BND中，

MD=ND AD=BD

，
∴Rt△AMD≌Rt△BND（HL），
∴AM=BN，
∵∠ACB=60°，CD为∠FCB平分线，
∴∠MCD=∠NCD=60°，
在Rt△CND中，∠CDN=30°，
可得CD=2CN，
同理CD=2CM，
∴CD=2CM=CM+CN，
∴BC=BN+CN=AC+CM+CN=AC+CD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定理，线段垂直平分线的判定与性质，利用了转化及等量代换的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．