Question

18．如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=9米，求塔CD的高度．（结果保留根号）

Answer 1

分析 根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继而可求出CG的长度．

解答 解：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，
∴FD=EF=9米，
在Rt△PEH中，∵tanβ=$\frac{EH}{PH}$=$\frac{8}{BF}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8}{BF}$，
∴BF=8$\sqrt{3}$，
∴PG=BD=BF+FD=8$\sqrt{3}$+9，
在Rt△PCG中，
∵tanβ=$\frac{CG}{PG}$，
∴CG=（8$\sqrt{3}$+9）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=8+3$\sqrt{3}$，
∴CD=（9+3$\sqrt{3}$）米．
答：塔CD的高度为（9+3$\sqrt{3}$）米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．