Question

如图，C是直径为AB的圆O上一点，D是弧AC的中点，DE⊥BC于E，ED交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是圆0的切线；
（2）若DF=10

3

，AF=OA，求弧AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,弧长的计算

专题：

分析：（1）连接OD，求出∠E=∠ACB=∠ECA=∠DMC=90°，求出∠EDO=90°，证得OD⊥ME，从而判定切线；
（2）根据勾股定理求出半径，求出∠FOD，即可求出∠AOC，根据弧长公式求出弧AC的长即可．

解答：（1）证明：连接OD，AC，两线交于M，
∵点D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵AB是直径，DE⊥BC，
∴∠E=∠ACB=∠ECA=∠DMC=90°，
∴∠EDO=360°-90°-90°-90°=90°，
∴OD⊥EF，
∵OD为半径，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：设OD=R，
则AF=OA=R，
在Rtβ△FDO中，FD²+DO²=FO²，
即（10

3

）²+R²=（2R）²，
解得：R=10，
即OD=R=10，OF=2R=20，
∴∠F=30°，∠FOD=60°，
∵D为弧AC的中点，
∴∠AOC=2×60°=120°，
∴弧AC的长是

120π×10

180

=

20

3

π．

点评：本题考查了切线的判定，弧长公式，圆周角定理，勾股定理的应用，解题的关键是正确地作出辅助线，题目比较好，难度适中．