Question

8．如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第二象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象的两支上，且PB⊥y轴于点C，PA⊥x轴于点D，AB分别与x轴、y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．
（1）k=3；
（2）试说明AE=BF；
（3）当四边形ABCD的面积为4时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由题意表示出P，D，C，A的坐标，求出两对应边之比，再由夹角相等，利用两边对应边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形PDC与三角形PAB相似，进而得出四边形ADCF与四边形DEBC都是平行四边形，利用平行四边形的对边相等即可得证；
（3）由四边形ABCD面积等于三角形PAB面积减去三角形PCD面积，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出P的坐标．

解答 解：（1）把B（1，3）代入反比例解析式得：k=3；
故答案为：3；
（2）根据题意得：P（m，3），D（m，0），C（0，3），A（m，$\frac{3}{m}$），
∵$\frac{PC}{PB}$=$\frac{-m}{1-m}$=$\frac{m}{m-1}$，$\frac{PD}{PA}$=$\frac{3}{3-\frac{3}{m}}$=$\frac{m}{m-1}$，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PD}{PA}$，
又∵∠P=∠P，
∴△PDC∽△PAB，∠PDC=∠PAB，
∴DC∥AB，
又∵AD∥CF，DE∥CB，
∴四边形ADCF和四边形DEBC都是平行四边形，
∴AF=DC，DC=BE，
∴AF=BE，
∴AE=BF；
（3）由S_{四边形ABCD}=S_△APB-S_△PCD=$\frac{1}{2}$PA•PB-$\frac{1}{2}$PC•PD=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{3}{m}$）（1-m）-$\frac{1}{2}$×3（-m）=4，
解得：m=-$\frac{3}{2}$，
则P（-$\frac{3}{2}$，3）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题第二问的关键．