题目内容

如图1，在直角坐标系xoy中，抛物线L：y=-x²-2x+2与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA上；如图2，把正方形OCBA绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）﹒
（1）B、C两点的坐标分别为、；
（2）当tanα﹦ $数学公式$ 时，抛物线L的对称轴上是否存在一点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线L的对称轴上是否存在一点P，使△PB₁C₁为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时tanα的值；若不存在，请说明理由﹒

解：（1）∵抛物线L：y=-x²-2x+2与y轴交于点C
∴y=2，
∴x=0或x=-2，
∴B（-2，2），
C（0，2）．

（2）存在﹒设旋转后的正方形OA₁B₁C₁的边B₁C₁交y轴于点D﹒
抛物线的对称轴x=2交OA₁于点E，交x轴于点F﹒
由已知，∵∠AOA₁=∠C₁OD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即点D是B₁C₁的中点﹒
①当点B₁为直角顶点，显然A₁B₁与直线x=1的交点P₁即为所求﹒
由Rt△EFO∽Rt△EA₁P₁，可得P₁点坐标为（-1， $\text{[math]}$ ）；
②当点C₁为直角顶点，显然射线C₁O与直线x=1的交点P₃即为所求﹒
由Rt△OFP₃易得P₃点的坐标为（-1，-2）；
③当B₁C₁为斜边时，以B₁C₁为直径的圆与直线x=1的交点即为所求，
∵B₁C₁的中点D到直线x=1的距离恰好等于1，
∴以B₁C₁为直径的圆与直线x=1的交点只有一个P₂﹒
又易得 $\text{[math]}$ ，∴P₂点的坐标为（-1， $\text{[math]}$ ）﹒
故满足题设条件的P点有三个：P₁（-1， $\text{[math]}$ ），P₂（-1， $\text{[math]}$ ），P₃（-1，-2）；

（3）存在﹒显然在如图两种情况中的P₁点、P₂点符合条件﹒
由图1易得tanα= $\text{[math]}$ ；
由图2中Rt△P₂A₁E∽Rt△OFE可得
tanα= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）本题需先根据题意抛物线y=-x²-2x+2与y轴交于点C的性质，得出x、y的值，即可求出B、C两点的坐标．
（2）首先根据题意判断出存在，再设旋转后的正方形OA₁B₁C₁的边B₁C₁交y轴于一点，抛物线的对称轴交OA₁与点，交x轴于点，得出∠AOA₁=∠C₁OD，在分三种情况分别得出P₁，P₂（-1， $\text{[math]}$ ），P₃的坐标，即可求出答案．
（3）首先判断出存在﹒根据图形得出P₁点、P₂点符合条件﹒由图1和图2分别得出tanα的值．
点评：本题主要考查了二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的相似比等性质，求有关问题时要注意分析题意分情况讨论结果．