Question

已知

a

b

为正数，a+b=2，求

a2+4

+

b2+1

的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：用a表示出b，从而得到

a2+4

+

b2+1

的最小值相当于点（a，0）到（0，2）和（2，1）的距离之和的最小值，然后确定出点（2，1）关于x轴的对称点（2，-1），再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：∵a+b=2，
∴b=2-a，
∴

a2+4

+

b2+1

=

a2+4

+

(2-a)2+1

，
∴

a2+4

+

b2+1

的最小值相当于点（a，0）到（0，2）和（2，1）的距离之和的最小值，
如图，点（2，1）关于x轴的对称点为（2，-1），
（0，2）和（2，-1）的距离为

(2+1)2+22

=

13

，
所以，

a2+4

+

b2+1

的最小值为

13

．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，难点在于考虑利用轴对称问题确定最小值，作出图形更形象直观．