Question

如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，BE=2，FC=6，求EF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：根据全等三角形的判定与性质，可得AG=AF，∠BAG=∠DAF，再根据全等三角形的判定与性质，可得EF与DC的关系，根据勾股定理，可得EF与BC的关系，根据解方程组，可得答案．

解答：解：如图所示：延长CB至G，使得BG=DF，连接AG，
在△ADF和△ABG中

DF=BG ∠D=∠ABG=90° AD=AB

，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∴∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=90°-∠EAF=45°=∠EAF．
在△AEG和△AEF中

AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE

，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF=GE=BG-BE=DF-BE=DC+CF-BE=DC+6-2=DC+4，
设EF=m，ad=bc=dc=n，m=n+4①，
在Rt△CEF中，EF²=EC²+CF²=（BC+BE）²+CF²，
即m²=（n+2）²+36②；
联立①②得

m=n+4 m2=(n+2)2+36

，
解得

m=10 n=6

，
∴EF=10．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，等式的性质勾股定理，综合性较强，题目稍有难度．