Question

如图，抛物线y=

3

18

x²-

13 3

18

x+2

3

与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，△ACD为等边三角形，以DC为半径的⊙D与y轴的另一交点为E．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求△CDE的面积；
（3）点P为抛物线对称轴l上一点，点Q为抛物线上一点．若以P、Q、D、B为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的横坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设y=0，则函数变为一元二次方程，解方程即可求出点A和点B的坐标；
（2）连结AE，作DF⊥CE于点F．则CF=

1

2

CE．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AE，OE，CF的长，再根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况考虑，Q在第一象限，以及第四象限，利用平行四边形的性质及坐标与图形性质求出Q坐标即可．

解答：解：（1）当y=0时，0=

3

18

x2-

13 3

18

x+2

3

，
整理得，x²-13x+36=0，
解得x₁=4，x₂=9，
∴A（4，0）、B（9，0）；   
                               
（2）连结AE，作DF⊥CE于点F．则CF=

1

2

CE．
当x=0时，y=2

3

，
∴C（0，2

3

），
∴OC=2

3

．
∵OA=4，
在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=

16+12

=2

7

．
∵△ACD为等边三角形，
∴∠CDA=60°，
∴∠AEC=

1

2

∠CDA=30°．
∴AE=2OA=8．
在Rt△AOE中，OE=

EA2-OA2

=

82-42

=4

3

，
∴CE=OE-OC=2

3

．
∴CF=

1

2

CE=

3

．
在Rt△CDF中，DF=

CD2-CF2

=

28-3

=5．
∴S△CDE=

1

2

CE×DF=

1

2

×2

3

×5=5

3

．

（3）存在，
分两种情况考虑：
当Q在第一象限时，若四边形PQDB为平行四边形，
∵抛物线对称轴为直线x=6.5，
∴Q横坐标为10.5或2.5，
当Q在第四象限时Q的横坐标为7.5，
∴点Q的横坐标为10.5、7.5或2.5．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线和坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，等边三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面．