Question

在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（-3，-3），点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer 1

【答案】分析：首先根据题意求得AB的长，直线AB的解析式，然后以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C₁和C₂，以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C₃和C₄，AB的中垂线交y轴于点C₅，即可求得答案．
解答：解：∵点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（-3，-3），
∴AB==5，
如图，①以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C₁和C₂，
∴OC₁=OC₂==2，
∴可得C₁（0，2），C₂（0，-2）；
②以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C₃和C₄，
可得C₃（0，1），C₄（0，-7）；
③AB的中垂线交y轴于点C₅，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=x-，
∴OE=，AE=，DE=-=，
∴△DEC₅∽△OEA，
∴DE：OE=EC₅：AE，
∴EC₅=，
∴OC₅=，
∵C₅（0，-）．
∴符合要求的点C的为：C₁（0，2），C₂（0，-2），C₃（0，1），C₄（0，-7），C₅（0，-）．
故选D．
点评：此题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．