题目内容

11．已知，如图，在?ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，点E，F分别是边BC，AD上的动点，点E与点F同时出发，点E从点B开始以2cm/s的速度向点C运动，点F从点D开始以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也立即停止运动，设运动时间为t秒，若M为CD的中点，连接FM并延长，交直线BC于点G．
（1）求证：四边形AEGF为平行四边形；
（2）填空：若∠B=60°：
①当t的值为2时，四边形AEGF为矩形；
②当t的值为4时，四边形AEGF为菱形．

分析 （1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进一步证得△EMD≌△GCM，得出DE=CG，进一步得出AE=FG证得结论；
（2）①当∠AFB=∠CED=90°时，四边形AEGF为矩形，求得BF长，得出t的数值即可；
②当AE=AF时，四边形AEGF为菱形，作AH⊥BF，垂足为点H，求得AH，用t表示出HF，AE，利用勾股定理得出AF，建立方程求得答案即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠D=∠MCG，
∵M为CD的中点，
∴DM=CM，
在△EMD和△GCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠MCG}\\{∠DME=∠GMC}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△GCM（AAS），
∴DE=CG，
∴AE=AD-DE=12-t，FG=BC+CG-BF=12+t-2t=12-t，
∴AE=FG，
∴四边形AEGF是平行四边形．
（2）①当∠AFB=90°时，四边形AEGF为矩形，
∵∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=4cm
则t=4÷2=2s；
②当AE=AF时，四边形AEGF为菱形，
如图，

作AH⊥BF，垂足为点H，
∵∠B=60°，AB=8
∴BH=4，AH=4$\sqrt{3}$，
∴HF=2t-4，
∴AF=$\sqrt{A{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{4{t}^{2}-16t+64}$，
又∵AE=12-t，
∴12-t=$\sqrt{4{t}^{2}-16t+64}$，
解得：t1=4，t2=-$\frac{20}{3}$（不合题意，舍去）
因此当t的值为4时，四边形AEGF为菱形．

点评 此题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握知识之间的联系，灵活运用四边形的有关判定解决问题．

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