Question

8．在矩形ABCD中，DC=2 $\sqrt{3}$，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求CE的长度．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；
（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．

解答 解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{FC}$，即可得：6x²=12，
解得：x=$\sqrt{2}$，
则CF=3 $\sqrt{2}$，
在Rt△CFD中，DF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BC=2DF=2 $\sqrt{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例，属于基础题，中考常考题型．