Question

如图，圆内接四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于E，AD、BC延长线交于F，EF中点为G，AG与圆交于K．求证：C、E、F、K四点共圆．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：综合题

分析：延长AG到H，使得GH=AG，连接EH、FH、CK，易证四边形AEHF是平行四边形，则有∠EAG=∠GHF，∠GAF=∠GHE．根据圆内接四边形的性质可得∠KCF=∠EAG，从而可得∠KCF=∠GHF，进而得到K、C、H、F四点共圆；根据圆内接四边形的性质可得∠KCD=∠KAF，从而有∠KCD=∠GHE，进而得到K、C、E、H四点共圆，就可解决问题．

解答：证明：延长AG到H，使得GH=AG，连接EH、FH、CK，如图所示．
∵GH=AG，EG=FG，
∴四边形AEHF是平行四边形，
∴∠EAG=∠GHF，∠GAF=∠GHE．
∵A、B、C、K四点共圆，
∴∠KCF=∠EAG，
∴∠KCF=∠GHF，
∴K、C、H、F四点共圆．
∵K、C、A、D四点共圆，
∴∠KCD=∠KAF，
∴∠KCD=∠GHE，
∴K、C、E、H四点共圆，
∴K、C、E、H、F五点共圆，
∴C、E、F、K四点共圆．

点评：本题主要考查了四点共圆的判定、圆内接四边形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明K、C、H、F四点共圆和K、C、E、H四点共圆是解决本题的关键．